一同事托我帮忙算一道计算题，并给我发了一张截图

problem

已知三个产品A、B、C的原价，和购买若干这三类产品所花的总金额，求一组合适的折扣和购买台数，使得所花费金额和账目上的总金额相同，并且要求折扣必须是小于1的一位小数，台数也不能超过20台。

假设产品A、B、C的折扣分别为 $ d_A,d_B,d_C $，所购买的台数分别为 $n_A,n_B,n_C$，于是可以解如下方程

\[40872 \cdot d_A \cdot n_A + 22200 \cdot d_A \cdot n_A + 8224.8 \cdot d_A \cdot n_A = 352191.2\]

显然，找到一个此方程的可行解，问题就解决了！

那么问题又来了，如何求解这一个多元二次方程呢？ 我那个同事说：可以试凑啊，先定下折扣再凑出台数，简简单单。 这样不仅挺耗时间的，而且如果这个方程只有少数几个可行解，那得试到什么时候了，更何况这个方程可能无解，再怎么试凑也没用。

真的就没有省时省力的方法了吗？

可以将上述问题看作是如下最优化问题：

\[\min |40872 \cdot d_A \cdot n_A + 22200 \cdot d_A \cdot n_A + 8224.8 \cdot d_A \cdot n_A - 352191.2|\]

满足如下约束条件

$ 0<d_A,d_B,d_C<1$ , 且为1位小数； $ 0<n_A,n_B,n_C<20$ , 且为整数。

根据构建的最优化问题，我们就可以用电脑替我们解决问题了。

这里使用标准粒子群算法求解此优化问题。用Matlab执行main.m，若干次后得出最优的折扣和台数如下表

  原价 折扣 台数 金额
A产品 40872 0.6 4 98092.8
B产品 22200 0.7 10 155400
C产品 8224.8 0.8 15 98697.6
      总计 352190.4

显然这个多元方程在要求的自变量的可行域内是无解的，只能求出一个近似解。这使得求出的总金额与要求的总金额相差0.8元。